Sciences pures
Ce qu'il fallait démontrer
Deux Québécois font la preuve de la véracité de la conjecture de Syracuse. On l’attendait depuis 76 ans!
par Catherine Dubé
Le 7 avril 2006 – En 1930, un étudiant de l’Université de Hambourg, Lothar Collatz, posait un problème mathématique qui allait confondre des générations de scientifiques du monde entier. Aujourd’hui connu sous le nom de conjecture de Syracuse, le problème est simple, mais la preuve de sa véracité, extrêmement difficile à établir.
Mais c’est maintenant chose faite! Et ce sont deux Montréalais, professeurs au Collège de Bois-de-Boulogne, qui ont trouvé la solution. Le résultat des cogitations d’Alain Slakmon et Luc Macot sera publié prochainement dans la revue scientifique Statistics and Probability Letters.
La conjecture de Syracuse ressemble à un jeu de calcul. On prend n’importe quel nombre entier plus grand que 1 (comme 2, 3, 4, etc.); s’il est pair, on le divise par 2; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. En réitérant l’opération plusieurs fois, on obtient une suite de nombres… qui finit toujours par aboutir à 1.
Faites le test avec le nombre 3. C’est un nombre impair: on le multiplie donc par 3 et on ajoute 1, ce qui donne 10, un nombre pair. Pour poursuivre, on divise donc par 2, et ainsi de suite. La série ainsi construite est la suivante: 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1… Dès qu’on arrive à 1, la boucle est bouclée, et la suite 4, 2, 1 ne peut que se répéter à l’infini.
Lothar Collatz a repris ce jeu avec une multitude de nombres entiers et, à tout coup, il a fini par obtenir 1. Il s’est donc demandé si cette règle s’appliquait à tous les nombres entiers. Une question à laquelle il n’a jamais pu répondre puisqu’il s’agit d’un ensemble infini… Voilà le cœur du problème!
Vingt ans plus tard, Helmut Hasse, un ami de Collatz, profite d’une visite à l’Université de Syracuse pour soumettre la fameuse conjecture à des collègues. Le problème change de nom au gré de ceux qui tentent de le résoudre : «problème 3n+1», «algorithme de Hasse» ou «problème de Ulam», du nom du grand mathématicien polonais Stanislaw Ulam.
Quelques décennies plus tard, l’arrivée des ordinateurs permet de tester des nombres de plus en plus grands, comme 1 256 651 665 537 537, qui aboutit à 1 après 1865 étapes de calcul! On teste ainsi tous les nombres entiers jusqu’à 2,7 X 1016… ce qui est très bien, mais ne constitue toujours pas une preuve que l’on peut obtenir 1 à partir de n’importe quel entier.
Il fallait donc trouver une autre approche. Alain Slakmon et Luc Macot, professeurs de mathématiques et de physique au Collège de Bois-de-Boulogne, ont eu l’idée à la fois simple et ingénieuse d’utiliser la théorie de la probabilité.
«Comme il s’agit d’une approche probabiliste, nous ne pouvons affirmer qu’il s’agit d’une preuve absolument irréfutable de la véracité de la conjecture. Il reste une toute petite possibilité que certains nombres y résistent», dit Alain Slakmon. Mais cette possibilité est maintenant infiniment petite.
Les professeurs ont établi un parallèle entre la conjecture et un jeu de hasard: un joueur de casino mise un certain montant d’argent (qu’on peut comparer à n, le nombre entier choisi au départ). Selon les lois de la probabilité, parfois le joueur gagne (n fois 3 + 1), parfois il perd (n divisé par 2). Selon ces mêmes lois, s’il rejoue constamment le capital ainsi obtenu, il finira par tout perdre (son capital de départ finira par devenir 1)! Et cela, peu importe la mise (le nombre entier) de départ.
Les joueurs de casino le savent bien: la maison gagne toujours!
par Catherine Dubé
Le 7 avril 2006 – En 1930, un étudiant de l’Université de Hambourg, Lothar Collatz, posait un problème mathématique qui allait confondre des générations de scientifiques du monde entier. Aujourd’hui connu sous le nom de conjecture de Syracuse, le problème est simple, mais la preuve de sa véracité, extrêmement difficile à établir.
Mais c’est maintenant chose faite! Et ce sont deux Montréalais, professeurs au Collège de Bois-de-Boulogne, qui ont trouvé la solution. Le résultat des cogitations d’Alain Slakmon et Luc Macot sera publié prochainement dans la revue scientifique Statistics and Probability Letters.
La conjecture de Syracuse ressemble à un jeu de calcul. On prend n’importe quel nombre entier plus grand que 1 (comme 2, 3, 4, etc.); s’il est pair, on le divise par 2; s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. En réitérant l’opération plusieurs fois, on obtient une suite de nombres… qui finit toujours par aboutir à 1.
Faites le test avec le nombre 3. C’est un nombre impair: on le multiplie donc par 3 et on ajoute 1, ce qui donne 10, un nombre pair. Pour poursuivre, on divise donc par 2, et ainsi de suite. La série ainsi construite est la suivante: 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1… Dès qu’on arrive à 1, la boucle est bouclée, et la suite 4, 2, 1 ne peut que se répéter à l’infini.
Lothar Collatz a repris ce jeu avec une multitude de nombres entiers et, à tout coup, il a fini par obtenir 1. Il s’est donc demandé si cette règle s’appliquait à tous les nombres entiers. Une question à laquelle il n’a jamais pu répondre puisqu’il s’agit d’un ensemble infini… Voilà le cœur du problème!
Vingt ans plus tard, Helmut Hasse, un ami de Collatz, profite d’une visite à l’Université de Syracuse pour soumettre la fameuse conjecture à des collègues. Le problème change de nom au gré de ceux qui tentent de le résoudre : «problème 3n+1», «algorithme de Hasse» ou «problème de Ulam», du nom du grand mathématicien polonais Stanislaw Ulam.
Quelques décennies plus tard, l’arrivée des ordinateurs permet de tester des nombres de plus en plus grands, comme 1 256 651 665 537 537, qui aboutit à 1 après 1865 étapes de calcul! On teste ainsi tous les nombres entiers jusqu’à 2,7 X 1016… ce qui est très bien, mais ne constitue toujours pas une preuve que l’on peut obtenir 1 à partir de n’importe quel entier.
Il fallait donc trouver une autre approche. Alain Slakmon et Luc Macot, professeurs de mathématiques et de physique au Collège de Bois-de-Boulogne, ont eu l’idée à la fois simple et ingénieuse d’utiliser la théorie de la probabilité.
«Comme il s’agit d’une approche probabiliste, nous ne pouvons affirmer qu’il s’agit d’une preuve absolument irréfutable de la véracité de la conjecture. Il reste une toute petite possibilité que certains nombres y résistent», dit Alain Slakmon. Mais cette possibilité est maintenant infiniment petite.
Les professeurs ont établi un parallèle entre la conjecture et un jeu de hasard: un joueur de casino mise un certain montant d’argent (qu’on peut comparer à n, le nombre entier choisi au départ). Selon les lois de la probabilité, parfois le joueur gagne (n fois 3 + 1), parfois il perd (n divisé par 2). Selon ces mêmes lois, s’il rejoue constamment le capital ainsi obtenu, il finira par tout perdre (son capital de départ finira par devenir 1)! Et cela, peu importe la mise (le nombre entier) de départ.
Les joueurs de casino le savent bien: la maison gagne toujours!