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Reportages

Mathématiques: Voyage au pays de l'abstrait

Par Marine Corniou - 31/03/2014


Sur l’estrade, Curtis McMullen fait mine d’enrouler un objet imaginaire sur lui-même pour expliquer à ses auditeurs les mystérieuses propriétés des espaces de modules et des sur­faces de Riemann. Ce chercheur de l’université Harvard, au visage poupin et aux yeux rieurs, est l’un des plus grands experts mondiaux en géométrie. Il décrit en gesticulant le trajet de boules de billard évoluant sur des tables aux formes complexes, en particulier des pentagones, son «motif favori». Jusqu’ici, on suit à peu près. Les choses se compliquent quand il faut imaginer que deux des côtés dudit pentagone sont virtuellement collés l’un à l’autre, si bien que la boule, plutôt que de rebondir sur une paroi, la transperce pour rejaillir du côté opposé…

Après une heure d’efforts et d’attention soutenus, force est de constater que les espaces de modules restent totalement impénétrables. «À moins d’être spécialiste du sujet, la conférence était vraiment difficile à suivre», me rassure Matthieu Vanicat, un jeune Français de 23 ans venu lui aussi en Allemagne assister au Heidelberg Laureate Forum. Il fait partie des 200 étudiants en mathématiques et informa­tique théorique, en provenance de 49 pays, qui assistent à cette rencontre hors du commun, organisée dans la vieille ville de Heidelberg, fin septembre. Pendant une semaine, ces jeunes, sélectionnés parmi des étudiants en maîtrise, en cours de thèse ou au postdoctorat, sont invités à côtoyer 40 des plus grands mathématiciens, lauréats de la médaille Fields, des prix Abel ou Turing – les équivalents du Nobel en maths et en informatique. L’objectif de la rencontre? Motiver et inspirer cette brillante relève, favoriser les échanges et promouvoir les mathématiques trop souvent synony­mes, pour le grand public, de discipline obscure, sinon cauchemardesque.

Des génies solitaires?

Si les maths effraient autant qu’elles fascinent, il en est de même pour les mathématiciens, véritables excentriques aux yeux de ceux qui n’ont pas hérité de la fameuse «bosse» du calcul. Souvent dépeints com­me des fous solitaires, ils pâtissent du triste destin de certains de leurs prédécesseurs, comme Kurt Gödel ou Ludwig Bolt­z­mann, qui se sont suicidés; ou comme John Nash, un génie qui a lutté pendant des années contre la schizophrénie.

L’air jovial, Curtis McMullen fait mentir ces clichés, comme les autres lauréats qui se prêtent de bon cœur au mélange des générations en s’attablant avec les étudiants. «La solidarité est beaucoup plus grande en maths qu’en biologie: il n’y a pas de compétition, les noms des auteurs des articles sont inscrits par ordre alphabétique, alors qu’ailleurs on se bat pour mettre son nom en haut de la liste», faisait remarquer l’un des chercheurs lors d’une conférence.

Dans cette ambiance bon enfant, on discute de maths et de carrière, bien sûr, mais aussi de toutes sortes de sujets plus ou moins futiles, depuis l’Oktoberfest jusqu’aux relations entre Israël et la Palestine. Le tout dans un anglais teinté d’innombrables accents. «Il faut faire savoir au monde que nous sommes normaux!» lâche avec un large sourire Franziska Jahnke, une blonde pétillante que l’on croit sur parole. Elle fait son doctorat à l’université de Münster, en Allemagne, dans le domaine de la logique. On n’en saura pas plus. «Je n’ai pas encore trouvé les mots pour expliquer ce que je fais, c’est trop abstrait. Mais c’est comme ça que je réfléchis. Les images et les métaphores ne me parlent pas, ça ne m’ai­de pas à penser! dit-elle avec énergie. Ce que j’aime dans ma recherche, c’est que tout est dans ma tête. C’est un jeu que je joue contre moi-même.»

C’est peut-être justement ce qui rend les mathématiques inaccessibles au commun des mortels, et si difficiles à vulgariser. Ni expériences ni microscopes, rien de concret à quoi se raccrocher: la recherche se fait avec un papier, un crayon et un cerveau imaginatif qui jongle aisément avec les concepts d’intégrales, de variétés, de groupes ou encore de courbes de Teichmüller ou de Weierstrass. «En plus d’être un langage, les maths sont un art, un processus créatif», soutient Michael Atiyah, ancien professeur aux universités d’Ox­ford, de Cambridge et de Princeton, récipiendaire de la médaille Fields en 1966 et du prix Abel en 2004 (entre autres récompenses). Pour ce vétéran de la discipline, la démons­tration d’un théorème, ce n’est que la dernière étape, l’aspect technique du travail. «Ce qui compte avant tout, c’est d’avoir une idée.»

Un monde sans limites

Et des idées, il en faut pour se lancer à l’assaut d’équations ou de conjectures (un énoncé mathématique qu’on pense juste, mais qui n’a jamais encore été démontré) sur lesquelles bon nombre de chercheurs se sont déjà cassé les dents. Slawomir Dinew, un étudiant au postdoctorat à l’université de Cracovie, en Pologne, en sait quelque chose. Il tente de résoudre des équations de la théorie des cordes, cette fameuse théorie physique sur laquelle des centaines de chercheurs planchent depuis des années. «Quand on travaille sur des équations connues, on est sûr que tous les théorèmes standard ont déjà été essayés. Il faut donc trouver une idée nouvelle, regarder le problème sous un angle différent», explique-t-il timidement, faisant écho aux conseils qu’ont prodigués sans relâche les lauréats à leurs successeurs.

Ceux-là, à l’aube de leur carrière, savent qu’ils ne manqueront pas de travail. Les maths sont loin d’être le monde figé qu’on nous enseigne à l’école, avec son nombre fini de théorèmes dans lesquels il suffit de puiser pour résoudre des problèmes dont la solution est déjà connue. Les chercheurs évoluent au contraire dans un espace sans limites, où ils imaginent constamment de nouveaux champs de recherche. «La beauté des maths, c’est de pouvoir inventer les outils nécessaires au fil du cheminement», précise Matthieu Vanicat qui va entreprendre l’an prochain un doctorat en physique théorique.

Énigmes célèbres

Physique, informatique, génie, mais aussi biologie, neurologie, évolution ou même économie ou météo, toutes les sciences s’appuient sur des équa­tions mathé­ma­tiques, surtout depuis l’essor des modèles informatiques. «Je n’aime pas la distinc­tion entre maths pures et appliquées. Il n’y a que des maths appliquées et des maths qui n’ont pas encore été appli­quées», aime à répéter Michael Atiyah. Mais au-delà de leur aspect utilitaire, les maths plaisent aussi pour leur beauté, leur esthétique, et pour leurs fascinantes énigmes qui attendent d’être résolues, parfois depuis plusieurs siècles. Certaines d’entre elles sont impossibles à expliquer à un non-initié; d’autres, comme le problème de Syracuse (voir plus bas), sont simples à énoncer mais tout aussi insolubles.

En 2000, l’institut Clay, fondé par un homme d’affaires de Boston pour promouvoir les mathématiques, a publié la liste des «problèmes du millénaire»; sept «colles» extrêmement difficiles, dont la résolution s’accompagnera d’une récompense de 1 million de dollars. Avis aux intéressés, il ne reste plus que six de ces casse-têtes car, en 2003, Grigori Perelman, un mathématicien russe, a annoncé avoir résolu la conjecture de Poincaré qui résistait depuis un siècle aux esprits les plus acharnés. Au terme de sept ans de travail solitaire et secret, Perelman est venu à bout de cette con­jec­ture, refusant ce­pendant d’em­pocher sa prime.

«Heureusement, la recher­che ne progresse pas seulement lorsqu’une de ces énigmes légendaires est résolue, indique Srinivasa Varadhan, chercheur à l’univer­sité de New York et lauréat, entre autres distinctions, du prix Abel en 2007 pour ses travaux dans le domaine des probabilités. Chaque fois qu’on avance d’un pas dans la résolution d’un problème, on fait surgir 10 nouvelles interrogations. On postule de nouvelles conjectures, on crée des liens entre des choses qui a priori n’ont pas de rapport entre elles. Faire de la recherche mathématique, c’est un peu comme gravir un escalier sans fin.»

Mais alors, comment les mathématiciens savent-ils qu’ils sont sur une bonne piste? Où trouvent-ils la force de travailler pendant des années sur le même problème, à l’instar de Grigori Perelman, sans savoir ce qu’il y a au bout ni se décourager?
«Parfois, on continue alors qu’il n’y a plus d’espoir et on trouve la solution. Parfois, on continue et on perd tout. La décision d’abandonner une piste ou de persévérer dépend de notre goût pour le danger et de notre foi en ce qu’on fait», répond le Français Cédric Villani, le plus jeune des lauréats présents, dont les travaux ont permis de comprendre en profondeur plusieurs phénomènes physiques.

La persévérance comme seule alliée

Cette volonté, cette persévérance, ce sont probablement les qualités que partagent tous les virtuoses des mathématiques. «Il faut être patient», acquiesce le jeune Slawomir Dinew qui est resté bloqué deux ans sur son problème de doctorat. La solution lui est finalement venue en trois heures…

«Tous les mathématiciens savent qu’il faut alterner des phases de concentration intense avec des phases de discussion avec les autres. Mais l’inspiration vient parfois de nulle part. Après des mois dans un tunnel, on aperçoit une lueur, puis vient l’illumination, le moment où on comprend tout et où on rédige la démonstration qui fait parfois des centaines de pages», poursuit Cédric Villani, coqueluche des médias et ambassadeur de sa discipline depuis qu’il a reçu la médaille Fields en 2010.

Il faut dire que le bonhomme ne passe pas inaperçu, toujours vêtu d’un costume trois pièces du XIXe siècle, d’une lavallière et d’une broche en forme d’araignée, dont il possède des dizaines de modèles. À Heidelberg, il était constamment entouré d’étudiants admiratifs qui connaissent la portée de ses travaux sur l’amortissement Landau ainsi que sur l’équation de Boltzmann, qui décrit le comportement physique d’un gaz, et dont il est le spécialiste. Le public amateur, lui, connaît Cédric Villani plutôt pour ses talents péda­gogiques et son livre, Théorème vivant, qui relate à grand renfort d’équations la genèse d’un théorème sur lequel il a travaillé plus de deux ans.

«J’ai voulu montrer la réalité crue de la vie de mathématicien, le degré de difficulté avec lequel on jongle. Il n’y a peut-être que cinq personnes dans le monde qui peuvent com­prendre ces pages d’é­qua­tions», a-t-il ajouté lors du Forum, où il s’est plu à rappeler les sept ingrédients qui, selon lui, sont nécessaires à la naissance d’une idée mathématique. «D’a­bord, il faut se documenter en lisant, en assistant à des conférences et en discutant de ses idées avec ses pairs. Il faut de la motivation, ce qui est peut-être l’aspect de notre travail le plus difficile à comprendre; il faut des contraintes; de la communication; un environnement de travail propice; un équilibre entre l’inspiration et le travail; et de la chance.»

Artistes de l’abstraction

Ni de sa bouche ni de celle des autres lauréats ne sort jamais le mot «génie». Ces artistes de l’abstraction préfèrent parler de «talent», avec beaucoup de modestie. «Il faut voir les mathématiques comme un jeu. On ne sait jamais si on va trouver ou non, ni même s’il y a une solution. Mais si on y prend plaisir, la recherche est à la portée de tous», a assuré lors d’un souper Srinivasa Varadhan en demandant aux jeunes de l’appeler par son surnom, Raghu. «Le talent mathématique est distribué de façon égale partout dans le monde, mais il doit être cultivé», a souligné quant à lui Michael Atiyah lors d’une conférence intitulée Conseils à un jeune mathématicien. Pour Slawomir Dinew, il n’y a pas de secret: «Les maths, c’est comme un sport. Il faut s’entraîner, essayer de redémontrer ce qui a été fait, s’imprégner des articles déjà publiés. Le talent n’est rien sans le travail.»

À écouter les vétérans parler aux jeunes, on comprend que les mathématiques de haut vol relèvent en effet de la performance athlétique. «Cela demande beaucoup de concentration et il y a souvent une grosse pression psychologique. Prenez le temps de vous relaxer, de cultiver vos amitiés», poursuit Michael Atiyah, du haut de ses 85 ans.

La vieille génération en est convaincue: les jeunes commencent leur carrière à un moment charnière, dans un monde très différent, où l’informatique se développe à toute vitesse. De quoi faire gagner du temps et permettre de défricher de nouveaux domaines. Mais la recette du succès ne change pas. «Les simulations numériques peuvent permettre de vérifier une intuition, ou au contraire nous faire changer d’idée à propos d’une équation. Mais l’informatique ne remplace pas la pensée humaine», avertit Cédric Villani. Ce que confirme Srinivasa Varadhan: «Faire des maths, c’est comme méditer. Il faut se concentrer sur un problème, ne penser qu’à ça. Mais si on le résout, on atteint le nirvana», promet-il. Une extase à laquelle les jeunes chercheurs présents au Heidelberg Laureate Forum aspirent tous à goûter un jour.
 
Le problème de Syracuse

L’énoncé est simple: prenez un nombre entier positif. S’il est pair, divisez-le par 2; s’il est impair, multipliez-le par 3 et ajoutez 1. Vous obtenez alors un nouveau nombre, sur lequel vous répétez la procédure.
Par exemple, partons du nombre 6, qui est pair. On obtient cette séquence:
6,3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1...
Quel que soit le nombre de départ, la suite finit toujours par répéter à l’infini le cycle 4,2,1. Cette propriété est-elle vraiment générale?
«Le problème a été testé avec des milliards de nombres par ordinateur, et cela semble toujours vrai, explique le mathématicien Cédric Villani. Mais cela ne suffit pas pour prouver que c’est le cas.» Posé en 1950 à l’université de Syracuse, aux États-Unis, ce problème «enfantin» n’a encore jamais été démontré ni infirmé.


Illustration : Katy Lemay

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