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Sciences

Nombres premiers: ordre ou chaos?

09-07-2020

Image: Shutterstock

Fétiches des mathématiciens, les nombres premiers obéissent-ils à une règle cachée?

En science, rares sont les sujets qui piquent encore la curiosité après plus de 2 000 ans de recherche. Les nombres premiers font partie de ces éternels mystères : ils ont tenu en haleine les plus grands mathématiciens et, aujourd’hui, même les ordinateurs les plus puissants se cassent les dents − ou plutôt les circuits − sur les questions qu’on se posait déjà dans l’Antiquité.

La définition de ces nombres est pourtant d’une simplicité désarmante. Un nombre entier est premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-même. Autrement dit, s’il ne peut être « fragmenté » en plus petits éléments. Ainsi, 17 est un nombre premier, mais 15 ne l’est pas, car on peut le décomposer en 3 × 5.

La série commence par 2, 3, 5, 7, 11… et se poursuit à l’infini. « Ce sont les briques fondamentales des mathématiques, l’ADN des nombres entiers », résume Andrew Granville, spécialiste de la théorie des nombres à l’Université de Montréal.

De fait, n’importe quel entier peut se décomposer en une combinaison unique de ces briques de base : 35 est 5 × 7 ; 221 s’écrit 13 × 17 ; et 2 010, 2 × 3 × 5 × 67. Pas autrement. On doit ce « théorème fondamental de l’arithmétique » à Euclide, même s’il n’a été démontré qu’en 1801.

Qu’a-t-on découvert sur ces nombres depuis la Grèce antique ? Pas mal de curiosités, mais l’essentiel nous échappe encore : ils semblent n’obéir à aucune règle, si bien qu’on ne dispose pas de formules simples permettant de révéler tous les nombres premiers, ni d’en énoncer à coup sûr, ni même de trouver celui qui suit ou précède un autre nombre premier. (Lire à ce sujet: En quête d’une formule pour les nombres premiers).

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Si ces trublions sont si durs à cerner, c’est parce qu’ils semblent avoir été semés aléatoirement le long de la ribambelle des entiers, dans l’unique but de torturer les mathématiciens.

Il n’y a qu’à regarder la liste des nombres premiers inférieurs à 100 pour s’en convaincre. Ils sont tous impairs (à l’exception de 2), mais les écarts entre eux n’ont rien de prévisible. Nulle règle ne semble gouverner leur répartition.

Paradoxalement, la distribution des nombres premiers est trop étrange pour n’être due qu’au hasard. Lucile Devin en sait quelque chose. Cette postdoctorante dans l’équipe d’Andrew Granville s’intéresse à un problème simple à formuler, mais difficile à résoudre, « comme tous les problèmes qui concernent les nombres premiers ».

Il se résume comme suit : quel est le reste de la division par 4 d’un nombre premier ? Par exemple, si l’on divise 19 par 4, il reste 3 (4 × 4 = 16 et il reste 3). Si l’on divise 17 par 4, il reste 1. « Dans tous les cas, il n’y a que ces deux réponses, 1 ou 3. Un théorème du 19e siècle dit qu’il n’y a pas de raison pour que l’un ou l’autre se produise plus souvent, indique-t-elle. Or, quand on observe les nombres premiers, il y en a plus qui donnent un reste de 3 et l’on ne sait pas pourquoi. » Armée « d’un papier et d’un crayon », elle essaie de trouver une théorie qui expliquerait ce biais dit de Tchebychev.

En 2016, deux mathématiciens de l’Université Stanford, Kannan Soundararajan et Robert Lemke Oliver, ont trouvé un autre « couac » en passant en revue (par ordinateur) 400 milliards de nombres premiers. Hormis 2 et 5, tous se terminent par le chiffre 1, 3, 7 ou 9. À priori, la probabilité qu’un nombre premier finissant par 1 soit suivi d’un autre se terminant par l’un de ces quatre chiffres est de 25 % pour chaque chiffre si le hasard est respecté. Mais le duo a découvert des irrégularités : ainsi, un nombre premier finissant par 1 a 30 % plus de chances qu’attendu d’être suivi d’un premier se terminant par 3 ou 7. Et il est rare que deux nombres premiers successifs finissent par le même chiffre. « Personne n’avait jamais remarqué cela », s’amuse Andrew Granville.

Faux chaos ?

À première vue, donc, les particules élémentaires de l’arithmétique sont manifestement imprévisibles. Mais si l’on s’éloigne pour observer le tableau d’ensemble, notamment en s’intéressant aux très grands nombres premiers, certaines tendances émergent.

Plus les nombres sont grands, plus la proportion de nombres premiers parmi eux décroît. Cette raréfaction a été mise en équation par Carl Friedrich Gauss au 18e siècle. « À 15 ans, il a remarqué que la densité des nombres premiers autour d’un nombre x est approximativement 1/ln (x) [ln est le logarithme, une notion bien connue en mathématiques] et cela a été prouvé », détaille Andrew Granville.

Peu importe si le terme logarithme ne vous dit rien : il permet d’estimer les chances qu’un nombre pris au hasard soit premier (et donc d’estimer la proportion de nombres premiers dans un intervalle donné) sans trop se tromper. La preuve qu’il y a bien une sorte d’ordre derrière l’apparent chaos. Par exemple, cette loi prévoit 72 nombres premiers dans l’intervalle entre 1 000 000 et 1 001 000. En réalité, il y en a 75 : pas si mal !

Ce constat est à la base de l’une des plus grandes quêtes des mathématiques : prouver l’hypothèse de Riemann, énoncée par le génie Bernhard Riemann en 1859, qui permettrait de trouver l’emplacement de chaque nombre premier avec une marge d’erreur négligeable. La formule est inexplicable aux communs des mortels (elle repose sur une fonction nommée « zêta »), mais elle pourrait élucider la distribution erratique des nombres premiers, qui se succèdent parfois avec un écart de 2 (les « jumeaux »), de 6 (les « sexy ») ou… de plusieurs millions.

Depuis 160 ans, les mathématiciens essaient sans succès de démontrer cette hypothèse, qui est l’un des sept « problèmes du millénaire » désignés par l’Institut de mathématiques Clay. Cet organisme privé offre une récompense de un million de dollars à quiconque parviendra à résoudre l’énigme…

En attendant, le mystère a du bon. « Quelque part, cela tombe bien qu’il n’y ait pas de formule, sinon tous nos algorithmes de sécurité tomberaient à l’eau ! » indique Lucile Devin. Les transactions par carte bancaire et les échanges de données sur Internet reposent en effet sur une technique de cryptographie qui consiste à trouver les diviseurs premiers d’un nombre immensément grand (plus de 200 chiffres). En l’absence de règles, la seule solution est de tester toutes les combinaisons possibles jusqu’à obtenir le résultat et déchiffrer le message. « Cela prend tellement de temps qu’on peut déceler les attaques avant qu’un pirate y arrive », résume la chercheuse. Grâce à ces nombres irréductibles, nos secrets sont donc bien gardés… pour l’instant.

Les os savants d’Ishango

Image: Wikimedia Commons

Ce sont deux petits os de quelques centimètres, à première vue insignifiants. Sauf qu’il y a 20 000 ans, des humains vivant dans l’actuelle République démocratique du Congo y ont gravé des séries d’encoches. Certains experts y ont vu le premier témoignage des capacités mathématiques de l’humanité, une sorte de table de calcul ou de jeu arithmétique. L’interprétation est contestée : les ensembles d’encoches désignent-ils vraiment des nombres? Quoi qu’il en soit, l’une de ces séries comprend 11, 13, 17 et 19 entailles. Une suite de nombres premiers…

 

 

 

 

 

 

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