Publicité
Sciences

La beauté des nombres parfaits

09-07-2020

Image: Shutterstock

N’est pas parfait qui veut. La preuve est mathématique : à ce jour, il n’y a que 51 nombres parfaits confirmés.

Ils sont jolis comme tout. Les nombres parfaits sont des entiers égaux à la somme de leurs diviseurs. Ainsi, 6 se divise par 2, 3 et 1. En additionnant 2, 3 et 1, on arrive à 6 ! Même chose pour 28, somme de 1 + 2 + 4 + 7 + 14. N’est-ce pas magnifique ?

Ils sont assurément mythiques depuis des millénaires. Plusieurs textes religieux affirment ainsi que la Terre a été créée en 6 jours. Le cycle lunaire est aussi harmonieux avec ses 28 jours. Deux nombres dits « parfaits », terme élaboré par les pythagoriciens il y a plus de 2 500 ans. « Les mathématiques et la philosophie étaient liées à l’époque, rappelle Chantal David, professeure de mathématiques à l’Université Concordia. Dans les deux cas, on étudiait l’Univers. »

Environ 300 ans avant notre ère, Euclide d’Alexandrie s’est intéressé à ces étrangetés de façon mathématique et a découvert une manière de les repérer. Il lui suffisait d’abord de trouver un nombre premier résultant d’une puissance 2 de laquelle on soustrait 1. Par exemple,

En multipliant ce nombre premier (7) par le résultat de la multiplication par 2 précédente (ici le 4), on obtient un nombre parfait : 28. La formule d’Euclide résume cela. Lui-même est parvenu à désigner les quatre plus petits.

Puis, « 2 000 ans plus tard, [le mathématicien suisse] Leonhard Euler a montré que les seuls nombres parfaits pairs sont ceux prévus par la formule d’Euclide, poursuit Chantal David. Cela a donné le théorème d’Euclide-Euler ; on l’enseigne à l’université dans les cours de théorie des nombres. »

LISEZ LA SUITE DE CE REPORTAGE DANS LE NUMÉRO DE JUILLET-AOÛT 2020

Pour accéder à l’article complet, consultez notre numéro de juillet-août 2020. Achetez-le dès maintenant.

Des nombres immenses

Plusieurs mystères les entourent toujours. Pour commencer, en existe-t-il un nombre infini ? « En utilisant un modèle probabiliste qui englobe toutes nos connaissances actuelles, on en obtient une infinité, explique la mathématicienne. Mais il y a peut-être une relation qu’on n’a pas vue, quelque chose qu’on n’a pas mis dans nos modèles. »

Même si la réponse n’est pas précise, des travaux ont néanmoins révélé que les nombres parfaits ne courent pas les rues. La distance entre deux nombres parfaits croît de façon exponentielle : s’il y en a 2 sous la barre de 100, on n’en compte que 4 sous la barre du million. Au total, on connaît 51 nombres parfaits pour le moment. La grande majorité a été découverte après les années 1950. La dernière trouvaille date de 2018 et comporte pas moins de 49 724 095 chiffres !

À quand le 52e ? « Ces nombres sont tellement grands qu’ils n’entrent pas dans le registre [la mémoire interne] de l’ordinateur, alors il faut trouver d’autres façons de les représenter, dit la professeure David. C’est vraiment une science de travailler avec ces nombres. Cela demande des machines très puissantes, mais surtout de bons algorithmes. Moins ils contiennent d’étapes, plus ils sont rapides. »

L’autre question qui taraude les chercheurs : existe-t-il des nombres parfaits impairs ? Certains affirment même que c’est le plus vieux problème mathématique non résolu. À tout le moins, on sait que, s’il y en avait un, ce serait un mastodonte, puisque des calculs laissent croire qu’il n’en existe pas sous la barre de 10300. À titre de comparaison, l’Univers visible compterait 1080 atomes, selon des estimations !

« On est un peu coincés en ce moment ; les méthodes pour s’attaquer à ce problème ont atteint leurs limites, mentionne Paul Pollack, professeur de mathématiques à l’Université de Géorgie, aux États-Unis, qui a publié plusieurs articles scientifiques sur les nombres parfaits. On peut donc tenter plutôt de voir quelles seraient les conditions nécessaires pour obtenir un nombre parfait impair. Pace Nielsen, un mathématicien, a ainsi montré [en 2010] qu’il faudrait que ce nombre possède au minimum 10 facteurs premiers. »

M. Pollack s’est tourné vers les cousins des nombres parfaits pour éviter le cul-de-sac. Un nombre peut en effet adopter le slogan « À deux, c’est mieux » et être parfait avec un copain. Il sera alors considéré comme un nombre « amiable » ou « amical ». Pour cela, il faut que la somme de ses diviseurs soit égale à la valeur de son « ami » et que la relation soit réciproque. Cette citation attribuée à Pythagore dit tout : « Un ami est l’autre moi-même comme sont 220 et 284. » L’addition des diviseurs de 220 le démontre bien :

Plusieurs milliers de couples ont été mis au jour au fil des siècles. Fait intéressant : les nombres amiables impairs existent (12 285 et 14 595 sont les premiers).

Il y a ensuite les nombres sociables. Il s’agit de la version à plusieurs amis des amiables. Pensons à un groupe de quatre nombres. La somme des diviseurs du premier donne le second nombre et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on revienne au premier nombre ; la boucle est bouclée ! Sans oublier les pseudoparfaits, égaux à la somme de certains de leurs diviseurs. Puis les near-perfect (pour lesquels nous ne risquerons pas de traduction libre !) : égaux à la somme de tous leurs diviseurs, sauf 1. Paul Pollack a fait un Euclide de lui-même et tenté en 2012 de définir des règles pour en construire. Il existe aussi les triparfaits, les sublimes, les quasi-parfaits (différents des near-perfect)… Autant de variations autour d’un même thème.

Il faut continuer la recherche, déclare le professeur Pollack. « En aucun cas je ne prétends que ces nombres sont des problèmes centraux en mathématiques. Mais leur étude peut mener à des découvertes centrales. Pierre de Fermat, par exemple, est parvenu à ses découvertes en partie parce qu’il s’intéressait aux nombres parfaits. » De splendides catalyseurs !

 

Publicité

À lire aussi

Sciences

La tomate séquencée

Les 35 000 gènes de la tomate viennent d'être séquencés.
Québec Science 19-09-2012
Sciences

La biologie synthétique ou la vie en version 2.0

Fabriquer de nouveaux gènes. Réécrire des génomes entiers. Repenser la vie elle-même. Tout cela est désormais possible grâce à la biologie synthétique.
Joël Leblanc 22-01-2020
Sciences

Prix Nobel, cuvée 2016

Tour d'horizon des prix Nobel en science attribués en 2016, du 3 au 10 octobre.
Québec Science 05-10-2016