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Sciences

Zoom sur quelques nombres étonnants

09-07-2020

Les nombres « taxi », une curiosité mathématique. Photo: DESIGNECOLOGIST – Unsplash

Tous les nombres ne se valent pas. Que ce soit par leur place dans l’histoire et la culture, leurs propriétés arithmétiques ou leur esthétique, certains se démarquent du lot. Morceaux choisis.

1729

Ce nombre est au cœur d’une jolie anecdote, survenue juste après la Première Guerre mondiale. Le mathématicien britannique Godfrey Harold Hardy se rend en taxi dans un hôpital, près de Londres, visiter Srinivasa Ramanujan, un mathématicien de génie, autodidacte et originaire d’Inde. « Le climat anglais ne lui convenait pas et il souffrait de pneumonie », raconte Andrew Granville, un professeur de l’Université de Montréal d’origine britannique.

Au chevet du malade, le visiteur, qui cherchait un sujet de conversation, indique que son taxi était immatriculé 1729, un nombre «sans intérêt». Que nenni, lui répond Srinivasa Ramanujan. « C’est un entier très intéressant, le plus petit entier qui peut s’écrire comme la somme de deux cubes de deux façons. »

Aujourd’hui, 1 729 est le représentant le plus connu de ces nombres particuliers, surnommés « taxicab », qui avaient déjà suscité l’intérêt du mathématicien Pierre de Fermat au 17e siècle. Ils sont notés Ta(1), Ta(2)… Ta(n) et s’écrivent comme la somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes :

« On a un théorème qui dit qu’il en existe une infinité, mais ils sont difficiles à trouver », ajoute Andrew Granville. De fait, ils sont si épineux qu’on n’en connaît que six. Le dernier possède 23 chiffres et a été confirmé en 2008.

 

 

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42

Les amateurs de science-fiction le savent : 42 occupe une place spéciale dans l’imaginaire geek. Il semble que tout soit parti d’une blague de l’auteur britannique Douglas Adam qui, dans son roman Le guide du voyageur galactique, mentionne que la réponse à la « question ultime de la vie, de l’Univers et de tout le reste est 42 ». Un nombre choisi au hasard, selon l’auteur. Sur la page Wikipédia de 42 (oui, il a sa page), toutes sortes de propriétés plus ou moins étonnantes de ce nombre sont énumérées.

Mais en 2019, il a fait parler de lui pour une raison mathématique amusante, grâce au travail de deux chercheurs, l’un de l’Université de Bristol et l’autre du Massachusetts Institute of Technology. Ils se sont attaqués aux solutions de l’équation

42 = x3 + y3 + z3

Cette équation dite « diophantienne » a occupé plusieurs informaticiens depuis les années 1950 pour tous les entiers entre 1 et 100. La solution est parfois facile (29 = 3³ + 1³ + 1³), parfois impossible, comme pour 32. Restaient deux fortes têtes : 33 et 42. Le premier a résisté pendant 65 ans, jusqu’à ce qu’Andrew Booker, de l’Université de Bristol, trouve la solution l’an dernier. Avec son collègue, il a, dans la foulée, résolu le mystère pour 42, après plus d’un million d’heures de calcul faisant appel à 500 000 ordinateurs personnels connectés (un projet appelé Charity Engine).

Résultat ?
x = – 80 538 738 812 075 974
y = 80 435 758 145 817 515
z = 12 602 123 297 335 631

 

Phi

Le « nombre d’or », représenté par la lettre phi (φ), est LE nombre célèbre par excellence, auréolé d’une réputation quasi mythique qui agace les mathématiciens. Il désigne la solution positive du trinôme

Il est censé définir la « divine proportion », un rapport harmonieux entre deux côtés de rectangle, qu’on trouve dans les arts mais aussi dans la nature (ce nombre semble régir l’agencement des graines d’une fleur de tournesol, celui des pics d’ananas, de certaines spirales de coquillages, etc.). Il est surtout associé à la suite de Fibonacci, une suite numérique dans laquelle tout nombre (à partir du troisième) est égal à la somme des deux précédents :

Le rapport entre deux nombres consécutifs est alternativement supérieur et inférieur à φ. Et plus on avance dans la suite, plus on s’approche de la valeur exacte du nombre d’or.

 

Nombres palindromes

Un palindrome est un mot, comme radar, qui peut se lire dans les deux sens. Les nombres palindromes existent aussi et il y en a une infinité. Ils donnent lieu à toutes sortes de jeux et d’énigmes. En 2017, des chercheurs ont prouvé que tout entier est la somme d’au plus trois nombres palindromes. Un exemple ?

2000 = 616 + 383 + 1001

 

6174

Connaissez-vous l’algorithme de Kaprekar ? Pour jouer à ce petit jeu, il faut prendre un nombre à quatre chiffres différents et réagencer les chiffres pour obtenir le plus grand et le plus petit nombre possible. Prenons 2019 : on obtient 9210 et 0129. On soustrait le second du premier : 9 210 – 0129, et l’on répète l’opération avec le résultat obtenu.

Au bout d’un moment, le résultat est toujours le même : 6174. Pour les nombres à trois chiffres, la constante de Kaprekar est 495. Cela s’explique, mais… pour cela, il nous aurait fallu disposer de quelques pages (et connaissances) supplémentaires !

 

10100

Ce nombre immense – 1 suivi de 100 zéros – est appelé « gogol » (googol en anglais). C’est le mathématicien américain Edward Kasner qui l’a introduit dans les années 1920, demandant à son fils de neuf ans de lui trouver un nom… Son choix a inspiré les fondateurs de Google bien plus tard.

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