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Sciences

Mathématiques: des jeux et des énigmes pour vos vacances

09-07-2020

Image: Thanasis Papazacharias/Pixabay

Êtes-vous de ceux qui aiment activer leurs neurones même au bord de la piscine ? Si oui, cette sélection de jeux, d’équations et d’énigmes est pour vous. Bonne chance!

Par Jean-François Gagnon, enseignant de mathématiques au Collège Montmorency

1. Une foule de triangles

Avec 3 points, on peut faire un seul triangle. Avec 4 points, on peut tracer quatre triangles. Combien de triangles peut-on dessiner avec 5 points ? 8 points ? 100 points ?

2. Carrelage alambiqué

Vous voulez refaire le mur de votre salle de bain en créant une mosaïque à l’aide des quatre pièces suivantes:

Montrez qu’il est impossible de produire la mosaïque ci-dessous.

3. Petit ou gros rabais?

En achetant votre nouvel électroménager, vous savez que s’appliqueront sur le prix affiché une réduction de 20 %, les taxes de 15 % et des écofrais de 5 %. La vendeuse, soucieuse de votre satisfaction, vous permet de choisir dans quel ordre seront appliqués ces frais et la réduction.

a) Quel ordre choisirez-vous ? Dans ce cas, allez-vous payer plus ou moins que le prix original ?

b) Vrai ou faux ? Si un article est à 15 % de réduction et que les taxes sont de 15 %, vous paierez exactement le prix annoncé.

4. Friand de pizza!

Vous désirez vaincre votre dépendance à la pizza petit à petit. Aujourd’hui, vous mangerez une pizza, puis, les prochains jours, vous mangerez toujours la moitié moins de pizza que la veille. Bien entendu, ce régime ne vous permettra jamais d’arrêter complètement de manger de la pizza, puisque vous continuerez d’en manger à l’infini, si tant est qu’on puisse couper des miettes à l’infini ! De combien de pizzas au total aurez-vous besoin ?

 

5. Sur les traces d’Ératosthène

À la manière du grand mathématicien grec, éliminez successivement tous les multiples de 2, de 3 − à l’exception de 2 et 3 eux-mêmes − et ainsi de suite pour trouver tous les nombres premiers inférieurs à 100 (indice : il y en a 25).

BONUS : Expliquez pourquoi il suffit de faire l’opération par bonds de 2, 3, 5 et 7 pour désigner tous les nombres premiers inférieurs à 100.

6. À go, additionnez!

Il est agréable d’additionner les premiers nombres naturels.

1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6 ; 1 + 2 + 3 + 4 = 10

a) Quelle est la somme des 100 premiers nombres naturels (sans utiliser la calculatrice…) ?
b) Quelle est la somme des 50 premiers nombres impairs ? Est-ce plus petit ou plus grand que 50× 50 ?
c) Quand on additionne les premiers nombres impairs ensemble, on trouve toujours un carré parfait (un nombre entier multiplié par lui-même). Ainsi :

1 + 3 = 4 = 2 × 2

1 + 3 + 5 = 9 = 3 × 3

Montrez par des dessins pourquoi cela est le cas.

7. À la ferme

Dans un champ, il y a 10 fois moins de vaches que de chèvres. On compte une vache brune pour chaque couple de vaches blanches, mais on compte une chèvre brune pour cinq chèvres blanches.

a) Dans quel ratio est répartie la couleur chez tous les animaux du champ ?

b) Montrez qu’il y a un nombre pair d’animaux bruns.

8. Fin de session

Une professeure de mathématiques a calculé que la moyenne de son groupe à l’examen était de 70 %. En remettant les copies aux étudiants, elle se rend compte qu’une copie n’est pas corrigée.

a) Si son groupe compte 30 personnes et que la copie omise est parfaite (100 %), quelle aurait dû être la moyenne du groupe ?

b) Si la copie omise (dont nous ignorons la note) augmente la moyenne de 15 points, quelle est la taille du groupe ? On suppose que la moyenne sans la copie manquante est toujours de 70 %.

c) Cette même enseignante a deux autres groupes comptant 25 et 30 étudiants, dont les moyennes sont respectivement de 75 % et 80 %. Quelle est la moyenne des 55 étudiants de ces deux groupes ?

>>> Pour connaître les solutions, cliquez ici.

 

 

 

LISEZ LA SUITE DE CE REPORTAGE DANS LE NUMÉRO DE JUILLET-AOÛT 2020

Pour accéder à l’article complet, consultez notre numéro de juillet-août 2020. Achetez-le dès maintenant.

 

9. Les vases

Vous avez devant vous deux vases irréguliers et non gradués : le premier peut contenir 3 litres et le second 5. Expliquez comment vous pouvez vous en servir pour obtenir exactement 1 litre de liquide.

10. Les tours de Hanoï

Voici un joli jeu formé de trois tiges et de disques de différentes grandeurs. Pour gagner, il suffit de déplacer les disques de la tour A à la tour C. Mais attention : on peut déplacer seulement un disque à la fois et un disque ne peut jamais être déposé sur un disque plus petit. Voici, par exemple, comme déplacer trois disques.

11. Touché coulé

Le jeu Bataille navale consiste à trouver les positions de l’ennemi sur un échiquier de 10 cases sur 10 cases en essayant à chaque tour une nouvelle case. En étant très mal- chanceux, on aurait besoin de 100 tours pour gagner. Remplaçons cette grille par une grille infinie dont le centre est la case (0,0). Toutes les autres cases sont désignées par leurs coordonnées (ligne, colonne) en nombres entiers positifs et négatifs. Supposons que vous cherchez un unique bateau ennemi. En étant malchanceux, vous aurez besoin d’un temps infini pour le trouver.

Mettez au point une technique de recherche qui vous assure de trouver le bateau ennemi sans avoir besoin d’une infinité d’essais.

12. Le paradoxe des anniversaires

Pour simplifier le problème, nous supposerons qu’une année compte toujours 365 jours.

Il arrive que, dans un groupe, au moins 2 personnes aient la même date d’anniversaire. Dans un groupe de 366 personnes, il est certain qu’au moins 2 partagent leur date de naissance. Dans un groupe de 400 personnes, il est presque certain que cela se produit. Or, dans un groupe de 2 personnes, il n’y a qu’une faible chance que leurs dates d’anniversaire soient identiques (1 chance sur 365 en fait). Complétez la phrase en utilisant le plus petit nombre qui la rend vraie.

Dans un groupe de ____ personnes, il y a plus de 50 % de chances que 2 d’entre elles aient la même date d’anniversaire.

 

13. Le nombre d’or

Curieusement, le nombre d’or φ ≈ 1,618 a le même développement décimal que 1/φ ≈ 0,618 (c’est-à-dire la même succession de chiffres après la virgule).

a) À part 1 et -1, trouvez un autre nombre avec la même propriété.

b) Trouvez une infinité de nombres possédant cette propriété et montrez que les nombres
que vous avez trouvés sont différents.

14. Quelle forme étrange!

Pour la construire, nous commençons par un cercle noir d’aire égale à un mètre carré. Nous plaçons ensuite dans chaque cercle un cercle plus petit compris entre le bord et le centre du précédent en alternant entre blanc et noir. L’opération est reproduite une infinité de fois. Les premières étapes sont reproduites ci-contre, mais la forme finale aura un niveau de détail infini qu’il n’est pas possible de dessiner.

Quelle est l’aire de la partie ombragée ?

15. Désolé, mauvais numéro…

Qui ne s’est jamais trompé d’un chiffre en appelant quelque part ?

On veut joindre le 555-1849, mais on compose le 555-1749. S’ensuit une discussion malaisante… Pour éviter cela, imaginons une nouvelle loi qui obligerait tous les numéros de téléphone à avoir aux moins deux chiffres différents. Ainsi, en attribuant le 555-1849, il devient impossible de donner les numéros de la forme X55-1849, 55X-1849, 555-X849, 555-1X49, 555-18X9 et 555-184X.

a) Simon dit qu’il a fait des calculs et qu’on devra, sous cette nouvelle loi, attribuer 64 fois moins de numéros (les numéros ont 7 chiffres). Retracez sa réflexion et expliquez pourquoi elle est fausse.

b) Montrez à Simon comment il est possible de respecter la loi en n’attribuant que 10 fois moins de numéros.

16. Que les meilleurs gagnent

Dans un kiosque de fête foraine, 10 jeunes sont placés en file et regardent droit devant eux. Dans une heure, on placera sur leur tête un chapeau bleu ou rouge. Aucun ne verra la couleur de son propre chapeau ni celle des chapeaux des participants derrière lui. Mais tous verront très bien tous les chapeaux devant. En partant de la dernière personne de la file, on leur demandera de deviner la couleur de leur chapeau. Les jeunes qui devineront correctement la couleur gagneront la coquette somme de 100 $. Avant de commencer le jeu, on permet aux participants de se parler librement, mais dès que les chapeaux seront en place, ils ne pourront s’exprimer qu’à tour de rôle et devront se limiter à deviner la couleur de leur chapeau. Quelle stratégie permet toujours à au moins 9 jeunes de remporter la cagnotte ?

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