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Les fractales, une curiosité mathématique

17-01-2020
Fractales

Photo: xload@depositphoto.com

Tu connais peut-être les fractales pour les belles arabesques et les formes tarabiscotées qu’elles peuvent produire. En mathématiques, ces curiosités géométriques sont des figures dont les détails se répètent à toutes les échelles. Autrement dit, si tu zoomes sur une partie d’une fractale, tu retrouves une structure qui se reproduit encore et encore, de plus en plus petite… jusqu’à l’infini.

À quoi peuvent bien servir ces fractales, si ce n’est produire des œuvres d’art? Quand vient le temps de décrire les formes de la nature, elles procurent un atout majeur tandis que la géométrie classique (cercle, carré, rectangle…) ne parvient que pauvrement à reproduire ces silhouettes irrégulières.

Dame nature n’a pas attendu les années 70, époque où le mathématicien Benoît Mandelbrot a découvert les fractales, pour générer ces motifs. On les retrouve partout : dans le brocoli, le chou romanesco, les fougères, les cristaux de glace, les nuages, les montagnes, les côtes continent-océan… Tout ça, c’est des fractales !

Prends le contour d’une montagne par exemple : plus tu t’en rapproches, plus des détails irréguliers apparaissent encore et encore… Difficile de reproduire ce profil par ordinateur avec la géométrie classique. Mais avec une courbe fractale, rien de plus simple ! On utilise une petite équation mathématique, on la répète des centaines, des milliers, voire des millions de fois et voilà : une montagne d’une réalité surprenante apparaît à l’écran.

Les fractales possèdent aussi d’autres utilités. Elles permettent notamment de décrire et de prévoir les fluctuations de la bourse. Des médecins l’utilisent dans leurs recherches pour modéliser le poumon. On l’emploie pour prévoir la météo et les tremblements de terre … ses applications dans la vie réelle sont multiples.

Une dernière curiosité: on ne peut pas mesurer la longueur d’une fractale. Alors qu’on t’apprend en mathématiques qu’une ligne possède une seule dimension (longueur) et qu’une surface en possède deux (longueur et largeur), une figure fractale est un peu plus qu’une ligne, mais un peu moins qu’une surface. Sa dimension est comprise entre un et deux. Et comme ce n’est pas vraiment une ligne, impossible de la mesurer; sa longueur, en théorie, est infinie !

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